Gas station problem

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问题说明

这是一道来自于 LeetCode No.134 的问题, 问题的定义如下：

在一条环路上有 $N$ 个加油站，其中第 $i$ 个加油站有汽油 $gas[i]$ 升。

你有一辆油箱容量无限的的汽车，从第 $i$ 个加油站开往第 $i+1$ 个加油站需要消耗汽油 $cost[i]$ 升。你从其中的一个加油站出发，开始时油箱为空。

如果你可以绕环路行驶一周，则返回出发时加油站的编号，否则返回 $-1$。

说明:

• 如果题目有解，该答案即为唯一答案。
• 输入数组均为非空数组，且长度相同。
• 输入数组中的元素均为非负数。

示例 1:

输入: 
gas  = [1, 2, 3, 4, 5]
cost = [3, 4, 5, 1, 2]

输出: 3

解释:
从 3 号加油站(索引为 3 处)出发，可获得 4 升汽油。此时油箱有 = 0 + 4 = 4 升汽油
开往 4 号加油站，此时油箱有 4 - 1 + 5 = 8 升汽油
开往 0 号加油站，此时油箱有 8 - 2 + 1 = 7 升汽油
开往 1 号加油站，此时油箱有 7 - 3 + 2 = 6 升汽油
开往 2 号加油站，此时油箱有 6 - 4 + 3 = 5 升汽油
开往 3 号加油站，你需要消耗 5 升汽油，正好足够你返回到 3 号加油站。
因此，3 可为起始索引。

示例 2:

输入: 
gas  = [2,3,4]
cost = [3,4,3]

输出: -1

解释:
你不能从 0 号或 1 号加油站出发，因为没有足够的汽油可以让你行驶到下一个加油站。
我们从 2 号加油站出发，可以获得 4 升汽油。 此时油箱有 = 0 + 4 = 4 升汽油
开往 0 号加油站，此时油箱有 4 - 3 + 2 = 3 升汽油
开往 1 号加油站，此时油箱有 3 - 3 + 3 = 3 升汽油
你无法返回 2 号加油站，因为返程需要消耗 4 升汽油，但是你的油箱只有 3 升汽油。
因此，无论怎样，你都不可能绕环路行驶一周。

编写测试程序

# TEST ONLY
import unittest

class SolutionTest(unittest.TestCase):
    @classmethod
    def setUpClass(cls):
        cls._func = Solution().canCompleteCircuit

    def test_1(self):
        args = [[1, 2, 3, 4, 5], [3, 4, 5, 1, 2]]
        ans = 3
        cur_ans = self._func(*args)
        self.assertEqual(cur_ans, ans)

    def test_2(self):
        args = [[2, 3, 4], [3, 3, 4]]
        ans = -1
        cur_ans = self._func(*args)
        self.assertEqual(cur_ans, ans)


if __name__ == "__main__":
    unittest.main(verbosity=2)

解法 1 - 暴力求解

首先，先尝试暴力法。简单地说，既然问题最终的结果是出发点的索引，那么对于每一个加油站，都将其作为出发点进行尝试，如果能够实现返程，那么此加油站即为答案。如果所有加油站都不能实现返程，那么便返回 -1 作为结果。

class Solution(object):
    def canCompleteCircuit(self, gas, cost):
        """
        :type gas: List[int]
        :type cost: List[int]
        :rtype: int
        """
        n = len(gas)
        for start in range(n):  # 对于每一个加油站， 都将其作为起点
            curr_tank = 0       # 初始时汽油量为 0
            i = 0
            while i < n and curr_tank >= 0:
                curr_station = (start + i) % n
                curr_tank += gas[curr_station] - cost[curr_station]
                i += 1
            if i == n and curr_tank >= 0:   # 跑完 n 个站 且汽油量足够
                return start                # 得到索引
        return -1

很明显，这种解法的时间复杂度为 $O(N^2)$，这样的算法效率自然不能够满足要求。

解法 2 - 贪心策略

现在的问题是，对于这个问题，能否有一种一次遍历的方式求解呢，也就是说算法的时间复杂度需要控制在 $O(N)$ 。

答案当然是有的，下面我们来慢慢分析。

问题分析

能否跑完全程

首先，对于这个问题，至少可以明确的一点是，如果 gas 的元素之和小于 cost 的元素之和，那么肯定不存在这样的行驶路线。

也就是说如果总的汽油量都填补不了总的消耗量，那么无论如何也跑不完全程。在这种情况下算法一定会返回 -1。

推论 1： 若 sum(gas) < sum(cost)，则结果为 -1

但是当 sum(gas) >= sum(cost) 时，该怎么确定呢？

为了再次简化问题，我们将 gas 和 cost 进行合并， 得到 res，其中： res[i] = gas[i] - cost[i]

也即：res 表示的是经过每个站所需要的净汽油量，正负皆可。则有：

推论 2： 若 sum(res) < 0，则结果为 -1

能否作为起点

另外，由于出发时汽油量为 0，因此，如果在某个站，使 gas[i] < cost[i]，也即 res[i] < 0，则此点一定不是起点。

推论 3： 若 res[i] < 0，则结果不为 i

同时，如果连续的加油站的净汽油量都大于 0，那么最终的答案只可能在这一串加油站的第一个位置（由于答案唯一），我们也有

若 res[i-1] > 0, res[i] > 0，由于答案唯一，则结果不为 i

如何选择起点

我们先来看一个 sum(res) == 0 的例子：

图中曲线表示的是 res 数组的前缀和，也可以认为是车内剩余的汽油量

参考链接